Абрикосов родился в 1928 году в семье известных московских патологоанатомов. Большая часть его научной карьеры в СССР была связана с Институтом теоретической физики имени Л.Д. Ландау, здесь он работал в 1965-1988 годах.
В 1991 году физик эмигрировал в США, где занимался исследованиями в Аргоннской национальной лаборатории (штат Иллинойс) и преподавал в местных университетах. В 1999-м ученый принял американское гражданство.